Asíntotas y más asíntotas

El otro día nos plantearon el siguiente problema:

Hallad una función f que tenga asíntotas horizontal, vertical y oblicua, teniendo una o dos ramas.

El caso es que todavía no la he sacado. Por supuesto no sirve con el dibujo, sino que hay que hallar la función numérica. Y se me resiste. Puede que a niveles menos básicos de matemáticas este sea un problema fácil de resolver, o halla algún teorema que ayude, pero aquí…

Por si acaso os recuerdo las condiciones para que halla asíntotas. Matemáticas por y para dummies en versión rápida:

Las asíntotas son rectas a las que la función se acerca infinitamente sin llegar a cortar (al acercarse a ± ∞), las horizontales y oblicuas pueden ser cortadas en otros puntos.

  • Horizontales: el límite de la función cuando tiende a ± ∞ debe ser un número K, y entonces la recta y=K es una asíntota horizontal
  • Verticales: la recta x= X0 es asíntota vertical si el límite de f cuando tienda a X0 es ± ∞. Siendo X0 los números que no están en el dominio de la función, por lo que hará falta hallar los límites laterales. Con que uno de los dos dé ± ∞ ya hay asíntota.
  • Oblicua: la asíntota será de la forma y=mx+n, con m= límite cuando tiende a ∞ de (f(x)/x). Tiene que dar un valor distinto de ± ∞ y 0. De dar otro número distinto se pasa a calcular n, que es el límite cuando tiende a ∞ de [f(x)-mx]. N tiene que dar un número que no sea ± ∞, si no es que está mal calculada la m o la n.

Por último hay gente que dice que no puede haber a la vez asíntotas horizontales y oblicuas a la vez, pero entonces esto no tendría sentido. Y me han dicho que hay al menos dos soluciones para este problema, a ver si se os ocurre algo.

ACTUALIZACIÓN: para los que no lo hayan visto, Víctor sacó una de las soluciones (porque hay varias). Os pongo la gráfica sacada del Derive. Y a ver si le saco a mi profesor otra de las soluciones…

3 Asntotas

~ por keiboll en 26 abril 2007.

15 comentarios to “Asíntotas y más asíntotas”

  1. Con una sola rama es imposible, porque la asíntota oblicua y la horizontal no pueden estar a la vez en el mismo sitio (la oblicua hace que la rama crezca hasta infinito, mientras que la horizontal obliga a que tienda a un mismo número… lo cual es contradictorio).

    Sí se puede hacer, en cambio que la rama “izquierda” tenga una asíntota horizontal cuando X tiende a menos infinito y en la rama “derecha” tenga una asíntota oblicua… o viceversa.

    Lo que te han dicho es imposible salvo que estés llamando “rama” a otra cosa.

    Para el caso que yo te propongo las soluciones son infinitas… la forma más sencilla de construir una sería “por partes”, definiendo nuestra función como la unión de otras dos o más funciones que cumplan las condiciones necesarias en los intervalos que nos interese: por ejemplo, una con asíntota horizontal en el intervalo (“menos infinito”,0], otra con asíntota vertical en el intervalo (0, 2] y otra con asíntota oblicua en el intervalo (2, más infinito)… 🙂

  2. Hmmm…tal y como lo dices lo de una rama suena imposible, no lo había pensado así. Se podrá hacer con que tenga dos ramas.
    ¿Y cómo definirías una función como unión de varias funciones? ¿Sumándolas?
    De todas formas, gracias por la idea de construirla por partes, probaré a definirlas y dibujarlas con el Derive.
    Pensando pensando llegué a una que era (x^2)/[SQRT(x^2-1)] si no recuerdo mal, tenía asíntotas oblicuas y verticales, pero no llegaba a tener horizontales. Ahí fue cuando cerré el cuaderno, el Derive y mandé por ahí a las matemáticas.

  3. Para que haya A. horizontal el grado del polinomio numerador debe ser menor que el del denominador. Para la oblicua es justo lo contrario. Por tanto, e simposible.

    (pd: holaaaa)

  4. Para que luego digan de los que son de letras…Aún así, tiene que haber alguna solución. Tendrá que se como dice mimetist…
    P.D. Y gracias por comentar 🙂

  5. Por partes sería demasiado fácil 😦 : pones que valga 1/x desde -inf hasta 0 y algo como (x^3+1)/(x^2) desde 0 a +inf.

    Te queda asíntota vertical en x=0, oblicua en y = x por la derecha y horizontal en y = 0 por la izquierda

    Lo interesante sería encontrar una función que por si sola tuviera todas. Yo probaría con exponenciales, que son las que hacen las cosas más curiosas.

  6. Juraría que el otro día escribí un comentario aquí… quizás sólo lo soñé… x_x

    de todas formas era una tontería, porque cuando leí el título del post pensaba que ponía “asintonías” (…..sin comentarios)

  7. prueba con (x^(3+abs(x)/x)+1)/(x^3) 😀

  8. Dios mío, qué flipada!! (siento el lenguaje, pero es que al ponerla en el Derive…)
    A simple vista, viendo la gráfica, parece que es una solución al problema. Ahora dime, ¿lo has sacado tú sólo o has consultado por ahí? Es que me da un miedo pensar que has podido llegar a usar exponenciales con valor absoluto para esto…

  9. Increíble! felicidades a victor! soy testigo de que has dejado alucinado a un profe de matemáticas xD

    Un beso!

    xao!

  10. Si se puede, con dos ramas. Me moleste en hacerlo en el derive y salio esto: http://aycu27.webshots.com/image/17306/2006131888652073637_rs.jpg

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