AsÃntotas y más asÃntotas
El otro dÃa nos plantearon el siguiente problema:
Hallad una función f que tenga asÃntotas horizontal, vertical y oblicua, teniendo una o dos ramas.
El caso es que todavÃa no la he sacado. Por supuesto no sirve con el dibujo, sino que hay que hallar la función numérica. Y se me resiste. Puede que a niveles menos básicos de matemáticas este sea un problema fácil de resolver, o halla algún teorema que ayude, pero aquÃ…
Por si acaso os recuerdo las condiciones para que halla asÃntotas. Matemáticas por y para dummies en versión rápida:
Las asÃntotas son rectas a las que la función se acerca infinitamente sin llegar a cortar (al acercarse a ± ∞), las horizontales y oblicuas pueden ser cortadas en otros puntos.
- Horizontales: el lÃmite de la función cuando tiende a ± ∞ debe ser un número K, y entonces la recta y=K es una asÃntota horizontal
- Verticales: la recta x= X0 es asÃntota vertical si el lÃmite de f cuando tienda a X0 es ± ∞. Siendo X0 los números que no están en el dominio de la función, por lo que hará falta hallar los lÃmites laterales. Con que uno de los dos dé ± ∞ ya hay asÃntota.
- Oblicua: la asÃntota será de la forma y=mx+n, con m= lÃmite cuando tiende a ∞ de (f(x)/x). Tiene que dar un valor distinto de ± ∞ y 0. De dar otro número distinto se pasa a calcular n, que es el lÃmite cuando tiende a ∞ de [f(x)-mx]. N tiene que dar un número que no sea ± ∞, si no es que está mal calculada la m o la n.
Por último hay gente que dice que no puede haber a la vez asÃntotas horizontales y oblicuas a la vez, pero entonces esto no tendrÃa sentido. Y me han dicho que hay al menos dos soluciones para este problema, a ver si se os ocurre algo.
ACTUALIZACIÓN: para los que no lo hayan visto, VÃctor sacó una de las soluciones (porque hay varias). Os pongo la gráfica sacada del Derive. Y a ver si le saco a mi profesor otra de las soluciones…
Con una sola rama es imposible, porque la asÃntota oblicua y la horizontal no pueden estar a la vez en el mismo sitio (la oblicua hace que la rama crezca hasta infinito, mientras que la horizontal obliga a que tienda a un mismo número… lo cual es contradictorio).
SÃ se puede hacer, en cambio que la rama “izquierda” tenga una asÃntota horizontal cuando X tiende a menos infinito y en la rama “derecha” tenga una asÃntota oblicua… o viceversa.
Lo que te han dicho es imposible salvo que estés llamando “rama” a otra cosa.
Para el caso que yo te propongo las soluciones son infinitas… la forma más sencilla de construir una serÃa “por partes”, definiendo nuestra función como la unión de otras dos o más funciones que cumplan las condiciones necesarias en los intervalos que nos interese: por ejemplo, una con asÃntota horizontal en el intervalo (“menos infinito”,0], otra con asÃntota vertical en el intervalo (0, 2] y otra con asÃntota oblicua en el intervalo (2, más infinito)…
Hmmm…tal y como lo dices lo de una rama suena imposible, no lo habÃa pensado asÃ. Se podrá hacer con que tenga dos ramas.
¿Y cómo definirÃas una función como unión de varias funciones? ¿Sumándolas?
De todas formas, gracias por la idea de construirla por partes, probaré a definirlas y dibujarlas con el Derive.
Pensando pensando llegué a una que era (x^2)/[SQRT(x^2-1)] si no recuerdo mal, tenÃa asÃntotas oblicuas y verticales, pero no llegaba a tener horizontales. Ahà fue cuando cerré el cuaderno, el Derive y mandé por ahà a las matemáticas.
Para que haya A. horizontal el grado del polinomio numerador debe ser menor que el del denominador. Para la oblicua es justo lo contrario. Por tanto, e simposible.
(pd: holaaaa)
Para que luego digan de los que son de letras…Aún asÃ, tiene que haber alguna solución. Tendrá que se como dice mimetist…
P.D. Y gracias por comentar
Por partes serÃa demasiado fácil
: pones que valga 1/x desde -inf hasta 0 y algo como (x^3+1)/(x^2) desde 0 a +inf.
Te queda asÃntota vertical en x=0, oblicua en y = x por la derecha y horizontal en y = 0 por la izquierda
Lo interesante serÃa encontrar una función que por si sola tuviera todas. Yo probarÃa con exponenciales, que son las que hacen las cosas más curiosas.
JurarÃa que el otro dÃa escribà un comentario aquÃ… quizás sólo lo soñé… x_x
de todas formas era una tonterÃa, porque cuando leà el tÃtulo del post pensaba que ponÃa “asintonÃas” (…..sin comentarios)
prueba con (x^(3+abs(x)/x)+1)/(x^3)
Dios mÃo, qué flipada!! (siento el lenguaje, pero es que al ponerla en el Derive…)
A simple vista, viendo la gráfica, parece que es una solución al problema. Ahora dime, ¿lo has sacado tú sólo o has consultado por ahÃ? Es que me da un miedo pensar que has podido llegar a usar exponenciales con valor absoluto para esto…
IncreÃble! felicidades a victor! soy testigo de que has dejado alucinado a un profe de matemáticas xD
Un beso!
xao!
Si se puede, con dos ramas. Me moleste en hacerlo en el derive y salio esto: http://aycu27.webshots.com/image/17306/2006131888652073637_rs.jpg